ISRAEL ALVAREZ: noviembre 2011

sábado, 19 de noviembre de 2011

Equilibrio de Tres Fuerzas

Un cuerpo sólido sometido a tres fuerzas cuyas líneas de acción no son paralelas está en equilibrio si se cumplen las siguientes tres condiciones:

Las líneas de acción son coplanares (se encuentran sobre el mismo plano)
Las líneas de acción son convergentes (cruzan por el mismo punto)
El vector suma de éstas fuerzas es igual al vector nulo o vector cero.

En la animación, las fuerzas están contenidas en el plano O_xy. O es el punto de intersección y la suma vectorial de las fuerzas es cero en todo el tiempo. La masa está en equilibrio.
Éste estado de equilibrio continúa siempre y cuando la suma de las fuerzas aplicadas al cuerpo permanezca nula todo el tiempo.
Esto corresponde al principio de inercia enunciado por Newton: “Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme hasta que sea obligado a abandonarlo a causa de alguna fuerza externa que se aplique sobre él”
Al dominio de la mecánica que estudia los sólidos en reposo se le llama estática.

FUNDAMENTO TEORICO
Fuerza.- toda vez que dos cuerpos interactúan entre surge entre ellos una magnitud,que además de valor tiene dirección, sentido y punto de aplicación, es esta magnitudque hace que los cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de sumovimiento o que se deformen.En general asociamos con los efectos de: sostener,estirar, comprimir, jalar, empujar, tensar, atraer, repeler, etc.

•Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel cuyas líneas de acción se cortan enun solo punto. Y su resultante es la sumatoria de ellas.

•En la practica un cuerpo en equilibrio de traslación puede encontrarse en reposocontinuo (v= 0 ), o moviéndose con velocidad constante, sumatoria de fuerzasigual a cero.

Principios de Equilibrio

Condiciones Generales de Equilibrio

La suma algebraica de las componentes (rectangulares) de todas las fuerzas según cualquier línea es igual a cero.
La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto cualquier línea (cualquier punto para fuerzas coplanares) es igual a cero.

Se aplicarán en seguida estas condiciones generales de equilibrio en las varias clases de sistemas de fuerzas, a fin de deducir las condiciones suficientes para obtener resultante nula en cada caso.

Hay solo una condición de equilibrio que puede expresarse (1) ∑F = 0 o (2) ∑M8 = 0. La (1) establece que la suma algebraica de las fuerzas es cero, y la (2) que la suma algebraica de los momentos respecto cualquier punto (no en la línea de acción) es cero. La condición gráfica de equilibrio es que el polígono de fuerzas queda cerrado.

Movimiento Semiparabólico

Un proyectil lanzado horizontalmente describe una trayectoria parabólica. Sin embargo, el recorrido que hace es semiparabólico debido a que sólo se ha movido por uno de los lados de la parábola.
Cuando lanzamos un proyectil con inclinación hacia arriba (menos de 90º) describe igualmente una trayectoria parabólica siendo, esta vez, un recorrido parabólico por haberlo hecho por los dos lados de la parábola descrita. En este no se aplicada la aceleración sino que entra la gravedad (es la fuerza teórica de atracción que experimentan entre sí los objetos con masa) manejamos la gravedad como 9.8m/sg².
También hay que tener en cuenta que una verdadera trayectoria parabólica sólo se produce cuando no existe el rozamiento del aire; en el caso real la trayectoria se la conoce como trayectoria balística.
Un ejemplo de este movimiento bidimensional curvilíneo es el movimiento de objetos lanzados o proyectados por algun medio. El movimiento de una piedra lanzada a través de una corriente o de una pelota de golf lanzada por tee es un movmiento de proyectil. Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta atura inicial, el movimiento es semi-parabólico.
Si una esa esfera rueda sobre una superficie horizontal sin rozamiento, decimos que está dotada de movimiento uniforme. Pero si esa misma esfera se deja caer desde cierta altura, vemos que adquiere un movimiento de caída libre, uniformemente acelerado, debido a la acción de la aceleración de la gravedad.
Un cuerpo adquiere un movimiento semi-parab+olico, cuando se lanza horizontalmente desde cierta altura cerca a la superficie de la tierra.

Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0 serían:

X = V_xi t

Y = y_o – ½ gt²

Movimiento Parabólico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.
Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

Tipos de Movimiento Parabólico
Movimiento semiparabólico
El movimiento de parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal) se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre de un cuerpo en reposo.
Movimiento parabólico (completo).
El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.
Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola.

Ecuaciones del Movimiento Parabólico
Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

$\mathbf{v_0} = v_0 \, \cos{\phi} \, \mathbf{i} + v_0 \, \sin{\phi} \, \mathbf{j}$
$\mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}$

donde:

$v_0 \,$ es el módulo de la velocidad inicial.

$\phi \,$ es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

$g \,$ es la aceleración de la gravedad.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

$v_0 \, \cos{\phi}$ que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.

En lo sucesivo $v_{0x} \,$

$v_0 \, \sin{\phi}$ que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.

En lo sucesivo $v_{0y} \,$

Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

$\mathbf{v_0} = v_{0x} \, \mathbf{i} + v_{0y} \, \mathbf{j}$ : [ecu. 1]

Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

$\mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}$

que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectória parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:
$ \begin{cases} \mathbf{a} = \cfrac{d\mathbf{v}}{dt} = -g \mathbf{j} \\ \mathbf{v}(0) = v_{0x}\mathbf{i}+v_{0y}\mathbf{j} \end{cases} ” /></blockquote> La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es: <blockquote><img src=$ Casting obliquely.gif

Péndulo Simple

El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.
Método de Newton
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, $\ell$ , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Esquema de las fuerzas en el péndulo simple.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

$F_\text{t} = -mg\sin{\theta} = ma_\text{t} \,$

siendo a_t, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

$a_\text{t}= \ell\ddot\theta \,$

siendo $\ddot\theta \,$ la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

$-mg\sin\theta = m\ell\ddot\theta \qquad\Rightarrow\qquad \ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 \,$

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange

El lagrangiano del sistema es

$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos{\theta}$

donde $\theta\,$ es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y $l\,$ es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

$ \frac{d}{dt}\frac{\part\mathcal L}{\part\dot\theta} – \frac{\part\mathcal L}{\part\theta}=0 \qquad\Rightarrow\qquad ml^2\ddot\theta + mgl\sin\theta = 0 ” /></blockquote> y obtenemos la ecuación del movimiento es <blockquote><img src=$

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es
q =q₀·sen(w t+j ) de frecuencia angular w²=g/l, o de periodo

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.
La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo
celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.

su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.

Pequeñas Oscilaciones
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

$\ell\ddot\theta + g\theta = 0 \,$

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:

$\theta = \Theta\sin(\omega t + \phi) \,$

siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

$\omega = \sqrt{g \over l} \qquad\Rightarrow\qquad T = 2\pi\sqrt{\ell \over g}\,$

Las magnitudes $\Theta \,$ y $\phi\,$ son dos constantes “arbitrarias” (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.

Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.
Θ(º)	Θ(rad)	senΘ	dif. %	Θ(º)	Θ(rad)	senΘ	dif. %
0	0,00000	0,00000	0,00	15	0,26180	0,25882	1,15
2	0,03491	0,03490	0,02	20	0,34907	0,34202	2,06
5	0,08727	0,08716	0,13	25	0,43633	0,42262	3,25
10	0,17453	0,17365	0,51	30	0,52360	0,50000	4,72

Resorte de Liga

Resorte: Se conoce como resorte o muelle a un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir
deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido. Son fabricados con materiales muy diversos, tales como acero al carbono, acero inoxidable, acero al cromo-silicio, cromo-vanadio, bronces, plástico, entre otros, que presentan propiedades elásticas y con una gran diversidad de formas y dimensiones.
Se les emplean en una gran cantidad de aplicaciones, desde cables de conexión hasta disquetes, productos de uso cotidiano, herramientas especiales o suspensiones de vehículos. Su propósito, con frecuencia, se adapta a las situaciones en las que se requiere aplicar una fuerza y que esta sea retornada en forma de energía. Siempre están diseñados para ofrecer resistencia o amortiguar las solicitaciones externas.
Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación x producida.
Liga: Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo. No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la
ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.

ISRAEL ALVAREZ