sábado, 19 de noviembre de 2011

Péndulo Simple


El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.
Método de Newton
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, \ell, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.


Esquema de las fuerzas en el péndulo simple.


Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
F_\text{t} = -mg\sin{\theta} = ma_\text{t} \,
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
a_\text{t}= \ell\ddot\theta \,
siendo \ddot\theta \, la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
-mg\sin\theta = m\ell\ddot\theta \qquad\Rightarrow\qquad \ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 \,
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange

El lagrangiano del sistema es
\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos{\theta}
donde \theta\, es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y l\, es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
<br /> \frac{d}{dt}\frac{\part\mathcal L}{\part\dot\theta} – \frac{\part\mathcal L}{\part\theta}=0<br /> \qquad\Rightarrow\qquad<br /> ml^2\ddot\theta + mgl\sin\theta = 0<br /> ” /></p></blockquote> <p>y obtenemos la ecuación del movimiento es</p> <blockquote><p><img src=
de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo q  es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es
q =q0·sen(w t+j ) de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.
La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo
celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.
su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.

Pequeñas Oscilaciones
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a
\ell\ddot\theta + g\theta = 0 \,
que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:
\theta = \Theta\sin(\omega t + \phi) \,
siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:
\omega = \sqrt{g \over l} \qquad\Rightarrow\qquad T = 2\pi\sqrt{\ell \over g}\,
Las magnitudes \Theta \, y \phi\, son dos constantes “arbitrarias” (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.
Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.
Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. % Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. %
0 0,00000 0,00000 0,00 15 0,26180 0,25882 1,15
2 0,03491 0,03490 0,02 20 0,34907 0,34202 2,06
5 0,08727 0,08716 0,13 25 0,43633 0,42262 3,25
10 0,17453 0,17365 0,51 30 0,52360 0,50000 4,72
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